Comportamiento de Funciones I: Dominio y Ámbito.

 Comportamiento de Funciones:

    Todas las funciones son peculiares y es importante aprender a describir su comportamiento, es decir, la forma en que están dibujadas. Para hacerlo iremos por partes; ¿recuerdan al eje x  y al  eje y? (si necesitas refrescar la memoria, haz click aquí) Son parte fundamental para describir en dónde se encuentra la función.

    Primero iremos con el eje x; una función se extiende a lo largo del eje x   y a esta extensión la llamaremos Dominio. Para reconocer el dominio de manera gráfica solo tienes que observas la función: ¿Dónde empieza en el eje x? ¿Dónde termina? por ejemplo:

Figura 1: Gráfica f(x)

   

     Si observamos la gráfica de la figura 1 y nos concentramos sólo en el eje x, vemos que inicia en x= -3 y termina en x=2. Pero no podemos decirlo simplemente así, empecemos a usar lenguaje matemático.

    Para describir el dominio de una función tenemos que fijarnos en la forma de sus "puntas", donde empieza y donde termina. UNA GRÁFICA SIEMPRE VA DE IZQUIERDA A DERECHA y, si alguna de sus "puntas" tiene forma de flecha, significa que la gráfica continúa hasta el infinito y ponemos una llave cuadrada hacia afuera. Si tiene un punto significa que la gráfica termina ahí y ponemos una llave cuadrada hacia adentro. 

    Por último, siempre debemos describir que hablamos del dominio con la letra D mayúscula y señalar que pertenece a un conjunto de números (naturales, enteros, racionales, irracionales o reales).

    Describamos el dominio de f(x) de la Figura 1:

1. Como va de izquierda a derecha, empieza en -3 y termina en 2.
2. Ninguna de sus "puntas" termina en flecha, lo que quiere decir que la función termina ahí.

Entonces el dominio de f(x) es:     D→R: [-3, 2]

lo cual se lee "el dominio de la función va de -3 a 2".

     

    Ahora vamos con el eje y, al cual llamaremos Ámbito y se refiere, de igual manera, a los intervalos en los que existe la función dentro del eje y. LA FUNCIÓN SIEMPRE VA DE ABAJO HACIA ARRIBA. Aplican las mismas reglas que se usan para calcular el dominio, pero ahora sólo concentrémonos en el eje y.

    Describamos el ámbito de f(x) de la Figura 1:

1. Como va de abajo hacia arriba, empieza en -5 y termina en 5.
2. Ninguna de sus "puntas" termina en flecha, lo que quiere decir que la función termina ahí.

Entonces el ámbito de f(x) es:     A→R: [-5, 5]

lo cual se lee "el ámbito de la función va de -5 a 5".

    Pero...¿Qué sucede cuando la función tiene flecha, curvas o puntos vacíos? Tranquilos, haremos el siguiente ejemplo:

Figura 2: Función g(x)

    

    Lo primero que podemos ver es que tiene una flecha y un punto sin rellenar. Hagámoslo simple. El punto sin rellenar es un punto vacío, lo que significa que en ese punto la función no existe. La flecha significa que la función sigue hasta el infinito.

    Entonces...analicemos g(x), primero su dominio:

1. El dominio va de izquierda a derecha y se puede ver que inicia en -∞ y va hasta 6.
2. Como hay una flecha, tendremos que usar una llave cuadrada hacia afuera del infinito.
3. Podemos ver que el punto abierto está en x= -3,  por lo que tendremos que hacer una "pausa", así:

D → R: ]-∞, -3[ U ]-3, 6]

• se pausa en -3, es decir primero decimos que "va desde -∞ hasta -3" y luego decimos que "va desde -3 hasta 6".
• se usa la letra "U" para unir dos intervalos. 
• también se usa una llave cuadrada hacia afuera cuando hay un punto vacío.

    Ahora, analicemos el ámbito de g(x):

1. El ámbito va de abajo hacia arriba y se puede ver que para el eje y, la función también inicia en -∞ y va hasta y=6.
2. Como hay una flecha, tendremos que usar una llave cuadrada hacia afuera del infinito.
3. Podemos ver que el punto abierto está en x= -3, pero en este caso vemos que la misma función "tapa" ese punto vacío:

Figura 3: cubriendo el punto vacío

• para la línea roja la función no existe gracias al punto vacío, sin embargo hacia el otro lado del eje y, hacia las líneas púrpuras, la función sí existe, a esto se le llama "cubrir" un punto vacío.

Entonces, volviendo a la Figura 2 podemos decir que:

A→R: ]-∞, 6]

• para el dominio y el ámbito solo nos interesa saber dónde inicia y dónde termina la función, no nos importa la forma que tenga.

Y listo, pan comido.