Cóncavas y convexas:
Las partes cóncavas y convexas de una función, al iniciar en el mundo de las funciones, son fáciles de reconocer, esto porque para bachillerato o pre-cálculo sólo es necesario estudiar la gráfica desde dos ejes. Más adelante la historia se complicará un poco.
Iniciemos con algunos ejemplos de concavidad (o partes cóncavas de una función): la boca de alguien triste, un arcoíris, la trayectoria de una piedra o un paracaídas abierto. Sí, así de simple:
Figura 1: Función f(x)
La sección cóncava de una función también se puede dividir en partes que, en este apartado se verán de forma simple. En la figura 1 se puede apreciar que la función tiene 3 puntos, los cuales son:
- El punto A o vértice de la función.
- El punto B o primera intersección con el eje x.
- El punto C o segunda intersección con el eje x.
Pero, algo le falta a la figura. Si observan con detalle podrán ver que la función pasa por el eje y pero no hay un punto que señale esto. El vértice de esta función también puede ser llamado como punto máximo, ya que el punto máximo es aquel punto donde la función es "más alta" o tiene su valor máximo al evaluar diferentes valores de x en la función f(x). Por lo tanto, A también es el punto máximo de la función f(x).
Las partes convexas de una función son fáciles de reconocer porque son similares a las partes cóncavas, pero de cabeza: una sonrisa, una rampa de skateboard o una letra U:
Figura 2: Función g(x)
Al igual que la función anterior, en la figura 2 se presenta a la función g(x), la cual también tiene partes que es pertinente señalar:
- El punto A o vértice de la función.
- El punto B o primera intersección con el eje x.
- El punto C o segunda intersección con el eje x.
De nuevo, es importante observar detalladamente la función ya que esta pasa por el eje y, sin embargo no es señalado punto alguno que lo indique. Es importante que a la hora de estudiar analicen la función que les presentan y añadan los datos que falten ya que pueden tener datos incompletos. El vértice de esta función en particular también es conocido como punto mínimo, ya que el punto mínimo es el "más bajo" o tiene su valor más bajo al evaluar diferentes valores de x en la función g(x). Por lo tanto A también es el punto mínimo de la función g(x).
Pero, ¿Qué sucede si una función tiene partes cóncavas y convexas? ¿Cómo luce esa función? ¿Posee los mismos puntos? Pues si, es posible que una función pase de ser cóncava a convexa o viceversa. Lucen como una onda (sonora, electromagnética, etc.) a la cual más adelante conocerán como función seno, coseno, tangente y demás términos trigonométricos. Al estudiar una función cuyo comportamiento cambia de cóncavo a convexo aparece un nuevo punto por analizar: el punto de inflexión.
El punto de inflexión es el punto de la función donde esta pasa de ser cóncava a convexa o viceversa. A veces es difícil reconocer el punto de inflexión de una función, es importante observar y analizar bien la función que se nos presente.
Así que empecemos a estudiar gráficos con este tipo de comportamientos. Si se dificulta la lectura al estudiar un gráfico, su dominio, su ámbito o la lectura de puntos por aquí dejo el link de otro apartado de Mate en Cuarentena, donde explico cómo expresar el dominio, ámbito y los puntos del gráfico.
Figura 3: Función h(x)
La función h(x) en la figura 4 presenta los puntos A, B, C, D y E. La información que brinda es sólo la del punto D=(1, 1.8). Ordenemos los demás puntos así como su dominio y ámbito:
Dominio:
h(x) = D→R: [-5, 4]
Ámbito:h(x) = A→R: [-2, 4]
Intervalos donde la función es cóncava:
[-5, -3] y [1, 4]
Intervalos donde la función es convexa:
[-3, 1]
Puntos de inflexión:
B = (-3, -1) y D = (1, 1.8)
Vértices:
A = (-4, -2), C = (-1, -2) y E = (3, 4)
Punto máximo:
E = (3, 4)
Punto mínimo:
C = (-1, -2)
Y listo, sólo es necesario poner mucha atención y será pan comido.
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